Introduction to Finite Elements in Engineering

مدلسازی پدیده های ژئوتکنیکی غالباً یا به صورت مدلسازی عددی و با کمک نرم افزارهای رایانه ای انجام می گیرد و یا دانشمندان و محققین با تکیه بر مدلسازی فیزیکی پدیده ها سعی در پیشبرد علم و شناخت پدیده های مختلف دارند. با توجه به نبود امکانات مدلسازی فیزیکی در بسیاری از دانشگاه ها و البته علاقه محقق به برنامه نویسی و مدلسازی عددی سبب شده است تا بسیاری از محققین جوان به دنبال مراجعی برای شروع یادگیری مفاهیم مدلسازی عددی باشند. کتاب مقدمه ای بر روش اجزا محدود در مهندسی می تواند منبع خوبی در این زمینه باشد و مخاطبین می توانند با مطالعه فصل های مختلف این کتاب اطلاعات ارزشمندی از روش اجزای محدود به دست آورند. چاپ اول این کتاب بیش از 20 سال پیش منتشر شد و پس از استقبال مخاطبین، ویرایش دوم و سوم این کتاب نیز به چاپ رسید. ترجمه های کتاب مقدمه ای بر روش اجزا محدود در مهندسی به زبان‌های اسپانیایی، کره ای، یونانی و چینی تاکنون منتشر شده است و بازخورد مثبتی از اساتیدی که از این کتاب برای تدریس استفاده می‌کردند و البته از دانشجویان و مهندسان شاغلی که از کتاب استفاده می‌کردند، دریافت شده است.

نویسنده چندین پیشنهاد را در این نسخه گنجانده است. فلسفه زیربنایی کتاب ارائه یک بیان واضح از نظریه، جنبه‌های مدل‌ سازی مسئله و پیاده ‌سازی در برنامه‌ های رایانه ای است. آموزش ارائه شده در نسخه های قبلی در این نسخه حفظ و تقویت شده است.

روش اجزای محدود به ابزاری قدرتمند برای حل عددی طیف وسیعی از مسائل مهندسی تبدیل شده است. کاربردها از تحلیل تغییر شکل و تنش سازه های خودرو، هواپیما، ساختمان و پل تا تحلیل میدانی شار گرما، جریان سیال، شار مغناطیسی، نشت و سایر مشکلات جریان را شامل می شود. با پیشرفت در فناوری رایانه و سیستم های CAD، مسائل پیچیده را می توان با سهولت نسبی مدل سازی کرد. چندین پیکربندی جایگزین را می توان قبل از ساختن اولین نمونه، روی یک رایانه آزمایش کرد. همه اینها نشان می دهند که ما باید با درک مفاهیم پایه روش ‌های مدل سازی و جنبه‌ های محاسباتی روش اجزای محدود، با این پیشرفت ‌ها همگام شویم. در این روش تحلیل، محدوده پیوسته و پیچیده ای که در ابتدا برای یک مسئله خاص وجود دارد به اشکال هندسی ساده ای به نام عناصر محدود گسسته می شود. خواص مواد و روابط حاکم بر این عناصر در نظر گرفته شده و بر حسب مقادیر ناشناخته در گوشه های عنصر بیان می شود. یک فرآیند مونتاژ، با در نظر گرفتن بارگذاری و محدودیت‌ ها، مجموعه ای از معادلات را نتیجه می دهد. حل این معادلات، رفتار تقریبی این محیط پیوسته تحت شرایط حاکم بر مسئله را به ما می دهد.

آنچه در این نسخه از کتاب مقدمه ای بر روش اجزا محدود در مهندسی جدید است

• معرفی اصل برهم نهی

• ارائه راه حل با تاکید بر تقارن و ضد تقارن

• ارائه مثال های متعدد برای تمرین بیشتر دانشجویان

• The patch test

• فصل تیرها و قاب ها به بعد از فصل خرپا منتقل شده است.

• تجدید نظر در برنامه های Excel VB

• برنامه هایی در JAVASCRIPT برای اجرا در مرورگرهای وب مانند IE، Firefox، Google Chrome  یا Safari در این نسخه مورد توجه قرار گرفته است.

• برنامه های گرافیکی قابل اجرا همراه با برنامه های منبع

مطالب جدید در چندین فصل معرفی شده است. مثال های کار شده و تمارین حل نشده در فصل ها برای تکمیل فرآیند یادگیری اضافه شده است. این مسائل  بر درک اساسی و ملاحظات عملی پروژه های مختلف ژئوتکنیکی در مدلسازی عددی با FEM تأکید دارد. جنبه های مدل سازی مسئله به فصل های اولیه اضافه شده است. اصل بر هم نهی در فصل 1 معرفی شده است. ملاحظات تقارن و ضد تقارن در مسائل دو بعدی به وضوح ارائه شده است.

در ادامه تست پچ مورد بحث قرار گرفته و مشکلات مربوط به آن اضافه شده است. برنامه های ارائه شده دارای ساختار مشترکی هستند که کاربران را قادر می سازد تا توسعه برنامه موجود را به راحتی انجام دهند. برنامه هایی در JAVASCRIPT به این نسخه اضافه شده است که به کاربران امکان می دهد تا با استفاده از مرورگرهای وب مانند IE، فایرفاکس، سافاری یا گوگل کروم، مشکلات تحلیل اجزای محدود را حل کنند. همه برنامه ها به طور کامل بررسی شده است. علاوه بر این ها، نکات ارزشمندی در زمینه برنامه نویسی های صورت گرفته در برنامه ها در ویژوال بیسیک، مایکروسافت اکسل/ویژوال بیسیک، متلب و جاوااسکریپت، همراه با برنامه هایی که قبلا در QBASIC، FORTRAN و C ارائه شده اند، ارائه شده است.

فصل 1 پیشینه تاریخی مختصری را به مخاطب ارائه می دهد و مفاهیم اساسی را توسعه می دهد. معادلات تعادل، روابط تنش – کرنش، روابط کرنش – جابجایی و اصول انرژی پتانسیل بررسی می شوند. مفهوم روش گالرکین نیز در این فصل معرفی شده است.

خصوصیات ماتریس ها و تعیین کننده ها در فصل 2 بررسی می شوند. روش حذف گاوسی (The Gaussian Elimination Method) ارائه شده است و رابطه آن با حل معادلات ماتریس نواری متقارن و حل خط آسمان مورد بحث قرار گرفته است. روش تجزیه Cholesky و گرادیان مزدوج مورد بحث قرار گرفته است.

فصل 3 مفاهیم کلیدی فرمول بندی اجزای محدود را با در نظر گرفتن مسائل تک بعدی توسعه می دهد. مراحل ارائه شده شامل توسعه توابع شکل، استخراج سختی عنصر، تشکیل ماتریس سختی، شرایط مرزی، حل معادلات، و محاسبات تنش است. هم رویکرد انرژی پتانسیل و هم فرمول‌ های گالرکین در این فصل مورد بحث قرار گرفته است. البته در نظر گرفتن اثرات دما نیز در بسیاری از مدل سازی ها مورد توجه است. این موضوع نیز در این فصل گنجانده شده است.

رابطه اجزای محدود برای خرپاهای صفحه ای و سه بعدی در فصل 4 توسعه داده شده است. محاسبه و تعیین سختی کلی در اشکال نواری و خط افق توضیح داده شده است.

برنامه های رایانه ای هم برای راه حل های نواری و هم خط آسمان ارائه شده است. تیرها و کاربرد توابع شکل هرمیت در فصل 5 ارائه شده است. این فصل از کتاب مقدمه ای بر روش اجزا محدود در مهندسی قاب های دو بعدی و سه بعدی را نیز پوشش می دهد.

فصل 6 رابطه اجزای محدود را برای مسائل تنش مسطح و کرنش مسطح با استفاده از عناصر مثلث کرنش ثابت (CST) معرفی می کند. مدل سازی مسئله و تعیین شرایط مرزی به تفصیل ارائه شده است. روابط مورد استفاده برای مواد ارتوتروپیک ارائه شده است.

فصل 7 جنبه ‌های مدل سازی جامدات متقارن محوری را که تحت بارگذاری متقارن محوری قرار دارند، بررسی می‌کند. روابط با استفاده از عناصر مثلثی ارائه شده است. چندین مسئله در دنیای واقعی نیز در این فصل مورد بررسی قرار گرفته است.

فصل 8 مفاهیم چهار ضلعی ایزوپارامتری و عناصر مرتبه بالاتر و ادغام عددی با استفاده از ربع گوسی را معرفی می کند. فرمول برای عنصر چهار ضلعی متقارن محوری و اجرای روش گرادیان مزدوج برای عنصر چهار ضلعی ارائه شده است.

فصل 9 تحلیل تنش سه بعدی را ارائه می دهد. عناصر چهار وجهی و شش وجهی ارائه شده است. روش فرونتال و جنبه های اجرای آن مورد بحث قرار می گیرد.

مسائل میدان اسکالر به تفصیل در فصل 10 مورد بررسی قرار می گیرند. در حالی که رویکرد های Galerkin و همچنین انرژی در هر فصل با اهمیت یکسان استفاده شده است، تنها رویکرد Galerkin در این فصل استفاده شده است. این رویکرد مستقیماً برای معادله دیفرانسیل داده شده بدون نیاز به شناسایی یک تابع معادل برای به حداقل رساندن اعمال می شود. رابطه گالرکین برای انتقال حرارت حالت پایدار، پیچش، جریان پتانسیل، جریان تراوش، میدان های الکتریکی و مغناطیسی، جریان سیال در مجاری آکوستیک ارائه شده است.

فصل 11 ملاحظات دینامیکی را معرفی می کند. ماتریس جرم عنصر داده شده است. روش هایی برای ارزیابی مقادیر ویژه (فرکانس های طبیعی) و بردارهای ویژه (اشکال حالت) مسئله ارزش ویژه تعمیم یافته مورد بحث قرار گرفته اند. روش های تکرار معکوس، ژاکوبی، سه ضلعی سازی و رویکردهای تغییر ضمنی ارائه شده اند.

تجزیه و تحلیل اجزای محدود شامل سه مرحله فعالیت است: پیش پردازش، پردازش و پس پردازش.

• پیش پردازش شامل آماده سازی داده ها، مانند مختصات گره، اتصال، شرایط مرزی، بارگذاری و اطلاعات مواد است.
• مرحله پردازش شامل تولید سختی اعضا، اصلاح سختی و حل معادلات است که منجر به ارزیابی متغیرهای گرهی می شود. سایر کمیت های مشتق شده، مانند گرادیان ها یا تنش ها، ممکن است در این مرحله ارزیابی شوند. مرحله پردازش به طور مفصل در فصل های قبلی ارائه شده است، جایی که داده ها در یک فایل ورودی فرمت شده آماده شده اند.
• مرحله پس پردازش به ارائه نتایج می پردازد. به طور معمول، پیکربندی تغییر شکل یافته، شکل حالت، دما و توزیع تنش، محاسبه شده و در این مرحله نمایش داده می شود.

تجزیه و تحلیل کامل اجزای محدود یک تعامل منطقی از سه مرحله است. اگر قرار باشد همه داده ها به صورت دستی پردازش شوند، آماده سازی داده ها و پس پردازش به تلاش قابل توجهی نیاز دارد. تنبلی در رسیدگی به داده ها و احتمال بروز خطا با افزایش تعداد عناصر، عوامل دلسرد کننده برای تحلیلگر اجزای محدود هستند. در بخش های بعدی، توسعه سیستماتیک ملاحظات پیش پردازش و پس پردازش ارائه می گردد. این موضوع باید آنالیز اجزای محدود را به ابزار محاسباتی جالب تری تبدیل کند. ابتدا یک طرح تولید مش همه منظوره برای مسائل صفحه دو بعدی ارائه می گردد. مفاهیم پیش پردازش و پس پردازش در فصل 12 کتاب مقدمه ای بر روش اجزا محدود در مهندسی بیان شده است. جنبه های نظری و پیاده سازی تولید مش دو بعدی، رویکرد حداقل مربعات برای به دست آوردن تنش های گرهی از مقادیر عنصر برای مثلث ها و چهار ضلعی ها و ترسیم کانتور ارائه شده است.

در مقطع کارشناسی ممکن است برخی از موضوعات حذف شوند یا به ترتیبی متفاوت ارائه شوند. بدون اینکه تداوم ارائه به هم بخورد. توصیه نویسنده بر این است برنامه های فصل 12 در پایان فصل 6 معرفی شوند. این امر به دانشجویان کمک می کند تا درک بهتری از مطالب به دست آورند.