Constitutive Modelling in Geomechanics

کتاب مدل رفتاری در ژئومکانیک بر اساس واحدهای درسی ارائه شده در طول 15 سال در دانشگاه های جرجیا (Georgia Tech, Atlanta)، یو پی سی (UPC, Barcelona) و ای تی اج (ETH, Zurich) نوشته شده است. هدف این کتاب پر کردن شکاف میان واحدهای درسی در ژئومکانیک و مدلسازی عددی ژئوتکنیکی است. در گذشته، در بسیاری از برنامه های درسی ژئوتکنیکی، مطالب ژئومکانیکی در مباحث مربوط به مکانیک محیط های پیوسته و ترمودینامیک مطرح نمی شد. البته دلیل خوبی برای آن وجود دارد، رفتار بسیار پیچیده خاک: توضیح آن در حالت نیمه تجربی مفید تر از ترساندن دانشجویان با ارائه مدل های ریاضیاتی سنگین و پیچیده است. اگرچه، وقتی نوبت به واحدهای درسی مربوط به مدلسازی عددی می رسد، معمولا این مباحث با استفاده از نرم افزارهای موجود مدلسازی به روش اجزا محدود (مثلا آباکوس (ABAQUS) و پلکسیس (PLAXIS)) یا تفاضل محدود (مثل فِلَک (FLAC)) که از روابط مدل رفتاری در قالب مکانیک محیط های پیوسته استفاد می کنند، آموزش داده می شوند. معمولا دانشجویان و مهندسانی که موضوع چالشی مدل رفتاری را از دستورالعمل های یک نرم افزار یاد می گیرند، گاهی اوقات از مدل هایی استفاده می کنند که قوانین ترمودینامیک را نقض می کند!

کتاب مدل رفتاری در ژئومکانیک از سطح مقدماتی شروع به توضیح می کند، ولی اصلا به این معنا نیست که ادعایی بر کامل بودن و همواره جدید بودن مطالب آن به خصوص در مدلسازی عددی و رفتاری خاک که زمینه ای پویا و در حال پیشرفت است، داشته باشد. قصد نویسنده بیشتر دست یافتن به فهمی پایه ای از مدلسازی رفتاری در روش های مکانیک محیط های پیوسته است که می تواند بستری برای کاوش بیشتر در نظریه های پیشرفته انگاشته شود. تلاش قابل توجهی برای ارائه مطالب به اختصار و البته قابل فهم صرف شده است. کتاب مدل رفتاری در ژئومکانیک بر روی کمک به مخاطبان برای درک جنبه های مختلف چگونگی مدلسازی پیچیده رفتار خاک با استفاده از مدل های رفتاری رایج، که به راحتی از طریق برنامه های عددی موجود قابل دسترس است، تمرکز دارد. ویژگی مهم دیگر این کتاب، بررسی تطابق ترمومکانیکی تمامی مدل های رفتاری ارائه شده در آن به شکلی ساده و سیستماتیک است.

کتاب مدل رفتاری در ژئومکانیک از سه بخش تشکیل شده است. بخش اول، توضیحی در مورد مکانیک محیط های پیوسته ارائه می دهد. بخش دوم با مدلسازی رفتار برگشت پذیر خاک سر و کار دارد و بخش سوم رفتار برگشت ناپذیر خاک را بررسی می کند. در نهایت، پیوست A، بر مدلسازی رفتار خاک غیر اشباع تمرکز دارد و پیوست B مثالی از جای دادن یک مدل رفتاری برگشت ناپذیر در یک الگوریتم عددی، برای حل مسائل مربوط به مقادیر مرزی را شرح می دهد.

این باور وجود دارد که این کتاب می تواند منبع مفیدی هم برای محققان و هم برای مهندسان ژئوتکنیک باشد، چرا که همواره با ضرورت تحلیل عددی در کارهای خود مواجه خواهند شد. فهم محدودیت های مدل های رفتاری برای ارزیابی بحرانی نتایج محاسبات عددی و بنابراین برای طراحی ایمن و به صرفه سازه های ژئوتکنیکی ضروری است.

در ادامه به برخی از مباحثی که در این کتاب ارائه شده است پرداخته می شود.

معادلات ترمودینامیک محیط های پیوسته

پیش از انجام مدلسازی رفتاری مسئله مهمی وجود دارد که باید در نظر گرفته شود. همانطور که در فصل 5 کتاب مدل رفتاری در ژئومکانیک هم بیان شد، فرمول بندی هر مسئله مقدار مرزی در مکانیک محیط های پیوسته بر اساس موارد زیر است:

• حرکت (تعادل)
• سازگاری (هندسه)
• روابط رفتاری
• شرایط اولیه و مرزی

با این حال، دو شرط دیگر وجود دارد که صراحتا وارد روابط مسئله مقدار مرزی نمی شود ولی با هر رابطه رفتاری قابل اطمینان باید ارضا شود. این دو شرط همان قوانین کلی حاکم بر ذخیره و اتلاف انرژی است:

• قانون اول ترمودینامیک
• قانون دوم ترمودینامیک

مخاطب شاید این پرسش را مطرح کند که چه نیازی به ترمودینامیک در این کتاب مدل رفتاری در ژئومکانیک وجود دارد؟ در واقع فرآیندها در مهندسی ژئوتکنیک یا بسیار آهسته (مثلا حین ساخت و ساز) هستند که می توان آنها را در تمام مدت همدما در نظر گرفت یا به قدری سریع (مثل حین زلزله) اتفاق می افتند که می توان آن ها را آدیاباتیک پنداشت. در هر مورد، دما و گرما نقش کوچکی در اکثر مسائل ژئوتکنیکی بازی می کند (به جز مواردی که با یخ زدگی در داخل زمین و دفع زباله های هسته ای سر و کار دارند).

پاسخ این پرسش این است که ترمودینامیک فقط مربوط به دما و گرما نمی شود بلکه عمدتا در مورد قوانین اساسی ذخیره و اتلاف انرژی بحث می کند که تمامی مصالح موجود در همه فرآیندها از جمله فرآیندهای همدما و آدیاباتیک از آن پیروی می کنند. از آنجا که مواد از این قوانین پیروی می کنند، به نظر منطقی می رسد که مدل های ریاضیاتی و مکانیکی آن، مثل روابط رفتاری، ملزم به رعایت قوانین ترمودینامیک باشند.

در فصل 8، مفاهیم ترمودینامیکی بر پایه ترمودینامیک مرسوم (کلاسیک) ارائه خواهد شد و پس از آن، این مفاهیم بر اساس ترمودینامیک محیط های پیوسته تفسیر خواهد شد. این قالب امکان بررسی تطابق ترمومکانیکی مدل های رفتاری توضیح داده شده در فصول آتی را فراهم می کند.

مدل سازی رفتار خاک

خاک، در مقایسه با دیگر مواد طبیعی و دست ساز، به اندازه مروارید یا کریستال های مایع دیدنی و تماشایی نیست. با این حال، در بحث توصیف ریاضیاتی رفتار مکانیکی، خاک احتمالا پیچیده ترین ماده در جهان است. به عنوان مثال، مهم ترین پیشرفت ها در تئوری پلاستیسیه (که در ابتدا برای آهن توسعه داده شده بود) در تلاش برای توضیح رفتار مکانیکی برگشت ناپذیر خاک به دست آمده است. همان طور که در فصل 1 کتاب مدل رفتاری در ژئومکانیک نیز بیان شده است.

خاک حائز ویژگی های زیر است:

• چند فازی (مثلا از دانه های جامد، مایع و گاز تشکیل شده است)
• دانه ای (به عنوان مثال از دانه هایی با شکل ها و اندازه های گوناگون به وجود آمده است)
• غیر همگن (خصوصیات مکانیکی آن در فضا تغییر می کند)
• غیر همسان (خصوصیات مکانیکی آن با توجه به جهت بارگذاری متغیر است)

با این حال، حتی اگر تمامی اثرات ذکر شده با آماده سازی نمونه و روش های آزمایش به کمینه ترین حالت خود برسد، رفتار مکانیکی خاک به دلیل موارد پایین کماکان پیچیده خواهد بود:

• غیر خطی بودن (در بارگذاری اولیه، باربرداری و بارگذاری مجدد)
• وابستگی به مسیر تنش (رسیدن به کرنش های متفاوت در تنش یکسان)
• وابستگی به سطح تنش (ویژگی آن با تنش همه جانبه تغییر می کند)
• برگشت ناپذیری (در یک چرخه بسته تنش کرنش باقی مانده ایجاد می کند)
• تاریخچه ماده (بیشترین تنش وارده قبل از باربرداری را به یاد دارد و پس از بارگذاری مجدد آن و رسیدن به تنش مذکور، منحنی بارگذاری اولیه را ادامه می دهد)
• اتساع (تغییرات در حجم در حین برش)
• سخت شوندگی (تغییرات در تنش جاری شدن به همراه ایجاد کرنش پلاستیک)
• وابستگی به نرخ (منحنی های گوناگون تنش-کرنش در نرخ های کرنش متفاوت)
• وابستگی به زمان (خزش، گذر زمان، حالت استراحت)

در بخش های دوم و سوم کتاب مدل رفتاری در ژئومکانیک، نحوه توضیح ریاضیاتی این موارد و دیگر خصوصیات رفتار خاک، نشان داده خواهد شد. به منظور تسهیل توضیحات، رفتار خاک با استفاده از یک آزمایش سه محوری ساده توصیف و مدل خواهد شد.

غیرخطی بودن در کرنش های کوچک

در مدل هایی که سختی، وابسته به فشار است، مدول برشی G یا ثابت است یا با توجه به تنش موثر متوسط افزایش می یابد. این مدل ها برای توضیح رفتار انحرافی پیش از جاری شدن خاک در آزمایش استاندارد فشار سه محوری استفاده می شود. مشکل این است که مدل های عددی مربوطه، تغییر شکل ها را در بسیاری از مسائل مقدار مرزی، به طور قابل توجهی دست بالا پیش بینی کرده بودند. این اختلاف در اواخر دهه 1980، محققان دانشگاه ایمپریال کالج لندن را به ایده ای برای انجام آزمون های آزمایشگاهی با محاسبه کرنش های محلی نمونه ها، بر خلاف محاسبات کرنش خارجی در آزمایش های سه محوری استاندارد، سوق داد. وقتی که نتایج در محدوده گسترده ای از کرنش به نمایش در آمد، منحنی های تنش-کرنش انحرافی دو آزمایش تفاوت زیادی با هم نداشتند. منحنی مربوط به آزمایش کرنش محلی، تا حدودی بالاتر از منحنی دیگر قرار می گیرد ولی این مسئله تاثیر قابل توجهی بر مدول برشی سکانتی پیش از جاری شدن، G، ندارد. در صورت بزرگنمایی ناحیه با کرنش های بسیار کوچک (حدود کرنش های %0/01 تا %0/1) تصویر دیگری مشاهده می شود. در حالی که منحنی مربوط به محاسبات خارجی تنش-کرنش تقریبا خطی است، منحنی مربوط به تنش-کرنش محلی آن تا حد زیادی غیر خطی می باشد و همچنین مدول برشی مماسی اولیه آن، G₀، بزرگتر از مدل برشی سکانتی پیش از جاری شدن، G، است.کشف مهم دیگر این است که حتی در کرنش های کوچک، رفتار تنش-کرنش کاملا برگشت پذیر نیست، مثلا، کرنش های دائمی بسیار کوچکی در چرخه بسته بارگذاری ایجاد می شود.

چرا این رفتار کرنش کوچک با سختی بالا بسیار مهم است؟ واقعیت آن است که در بسیاری از مسائل کاربردی ژئوتکنیکی تنها حجم نسبتا کمی از خاک تغییر شکل های بزرگ را تجربه می کند. کرنش ها در بخش های دیگر بسیار کوچک است. اما برای محاسبه تغییر شکل ها، این کرنش های کوچک در سطح وسیعی با هم تجمیع می شوند و مقدار نهایی آنها کاملا قابل توجه است. بنابراین، دست پایین گرفتن سختی خاک در کرنش های کوچک در آزمایش های استاندارد (برای سطح تنش یکسان) منجر به دست بالا گرفتن کرنش ها و تغییر شکل ها در مسائل ژئوتکنیکی مقدار مرزی می شود.

فهم جدیدی از طبیعت غیر خطی بودن رفتار خاک در کرنش های کوچک که از آزمایش های محاسبات تغییر شکل های محلی به دست آمده، امکان حل این مشکل را فراهم کرده است. البته مشروط به این که این رفتار غیر خطی به درستی مدل شود.

جریان پلاستیک

تمامی تنش های گسیختگی احتمالی، یک سطح گسیختگی را تشکیل می دهند F(σ_ij) = 0 . سطح گسیختگی بسیاری از خاک ها را در فضای تنش موثر سه بعدی می توان با یک خط مشخص کرد:

که در آن M و d به ترتیب شیب و عبارت جزئی سطح گسیختگی است. وقتی که تنش به سطح گسیختگی می رسد، گسیختگی انجام می شود و کرنش در شرایط تنش ثابت تغییر می کند. این نوع تغییر شکل به جریان پلاستیک معروف است. در آزمایش سه محوری، در حالی که کرنش حجمی ثابت می ماند (مثلا در رس های تا حدی تحکیم یافته) یا به نسبت کرنش برشی کاهش می یابد (به عنوان مثال در ماسه متراکم)، کرنش برشی به افزایش ادامه می دهد:

پدیده دوم به اتساع معروف است.

توانایی پیش بینی دقیق جریان پلاستیک مهارتی مهم در مدلسازی رفتار خاک است. ولی چرا باید کسی به رفتار خاک پس از گسیختگی علاقه مند باشد؟ برای آزمایش سه محوری، این مورد ممکن است اهمیت کمی داشته باشد: زمانی که نمونه گسیخته می شود، تقریبا هر مقداری از کرنش را در خود دارد، به شرطی که اجزای آن شرایط مورد نظر را ارضا کنند. در یک مسئله مقدار مرزی، خاک به طور همزمان در تمامی نواحی خود گسیخته نمی شود. گسیختگی در ابتدا محدود به نواحی مشخص گسیختگی  می شود، مثلا، در زیر گوشه های پی. این نواحی باید با خاک های اطراف در تعادل باشد و تغییر شکل های آنها باید سازگار باشد. این نواحی با افزایش بار، رشد می کنند و در رفتار غیر خطی پی مشارکت دارند. در بار گسیختگی، این نواحی به هم متصل می شوند و پی گسیخته می شود.

در فرآیند بارگذاری، هم تنش و هم کرنش در ناحیه گسیختگی ممکن است تغییر کنند و البته اطمینان از سازگار بودن مقادیر تنش و کرنش با هم دارای اهمیت است.

فصل 15 از کتاب مدل رفتاری در ژئومکانیک (Alexander M. Puzrin)، فرضیات پایه ای تئوری پلاستیسیته از جمله کرنش پلاستیک، بارگذاری پلاستیک، قانون جریان متحد و غیره را شرح می دهد و پاسخ تنش-کرنش را در حالت گسیختگی در فضاهای تنش سه محوری و کلی ارائه می دهد. همچنین جنبه های ترمومکانیکی جریان پلاستیک در این فصل بررسی می شود.