خانه - خدمات ایستاسازه - ابنیه و ساختمان - روش اجزای محدود چیست؟ (Finite Element Method) (FEM)

روش اجزای محدود چیست؟ (FEM)

(Finite Element Method) 

روش اجزای محدود یا المان محدود (Finite Element Method) یا به اختصار “FEM”، یک روش عددی برای حل مسائل حوزه‌های مهندسی و ریاضی فیزیک است.
روش اجزا محدود در مسائلی نظیر طراحی و تحلیل سازه‌ های فلزی و بتنی، انتقال حرارت، دینامیک سیالات، انتقال جرم، پتانسیل الکترومغناطیسی، پایدارسازی گودها با روش های مختلفی نظیر میخ کوبی (نیلینگ)، مهار متقابل (استرات)، مهارگذاری (انکراژ)، سپر کوبی، سازه نگهبان خرپایی، دیوار برلنی و دیوار دیافراگمی و بهسازی خاک ها با روش های مختلفی مانند اختلاط عمیق خاک (DSM)، تزریق پر فشار (جت گروتینگ)، شمع، ستون شنی ارتعاشی، تراکم دینامیکی، ریزشمع (میکروپایل)، خاک مسلح (ژئوسنتتیک) و … کاربرد دارد. برای حل این گونه مسائل از طریق روش‌های تحلیلی (شکل بسته)، باید جواب چندین مسئله مقدار مرزی را برای معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به دست آورد.

پدیده های فیزیکی معادلاتی دارند که بر آنها حاکم است و شرایط آنها را توصیف می کند. این معادلات اکثرا به صورت معادلات دیفرانسیل هستند و اکثرا هم به دلیل شرایط پیچیده ای که در مدل و محیط اطراف آن وجود دارد به صورت غیرخطی و پیچیده در می آیند. در این مواقع روش های معمول تحلیلی که تحت عنوان درس «معادلات دیفرانسیل» ارائه می شوند دیگر قابل استفاده نیستند. بنابراین روش های دیگری برای حل این معادلات به کار گرفته می شود که روش های عددی نام دارند. المان محدود هم یکی از روش های عددی است که از آن می توان برای حل عددی معادلات دیفرانسیل استفاده کرد. در این روش برای ساده سازی مسئله، کل ناحیه ای که در آن باید معادلات حل بشوند، به اجزای کوچکتری تقسیم می شود که هر جزء، یک المان (Element) نام دارد. همانطور که از نام این روش هم پیداست، تعداد المان ها ممکن است زیاد باشد اما محدود (Finite) است و بی نهایت نیست. در واقع می توان المان ها را شمرد. بنابر این، نام اختصاری این روش FEM است و در طراحی انواع سازه های بتنی و فلزی از آن استفاده می گردد.

روش المان محدود، مسئله را به یک دستگاه معادلات جبری تبدیل می کند. این روش، مقادیر تخمینی متغیرهای مجهول را برای تعدادی از نقاط مجزا در محدوده تعریف مسئله به دست می‌آورد. راه حل روش المان محدود، تقسیم مسائل بزرگ به بخش‌های کوچک‌تر و ساده‌تری به نام «المان‌ های محدود» (Finite Elements) است. در مرحله بعد، معادلات ساده‌ای که معرف این المان‌های محدود هستند، در یک دستگاه معادلات بزرگ‌تر در کنار یکدیگر قرار می‌گیرند و فرم کلی مسئله اصلی را تشکیل می‌دهند. انجام مطالعه یا تحلیل بر روی یک پدیده با استفاده از FEM، با عنوان «تحلیل المان محدود» (Finite Element Analysis) شناخته می‌شود.

روش اجزا محدود یا روش المان محدود روشی است عددی برای حل تقریبی معادلات دیفرانسیل جزئی و نیز حل معادله‌های انتگرالی. کاربرد عملی اجزای محدود حذف کامل معادلات دیفرانسیل یا ساده‌سازی آنها به معادلات دیفرانسیل معمولی، که با روش های عددی مانند اویلر حل می‌شوند، می‌باشد. در حل معادلات دیفرانسیل جزئی مسئله مهم این است که به معادله ساده‌ای که از نظر عددی پایداراست برسیم. روش هایی با مزایا و معایب مختلف برای این امر وجود دارد که روش اجزا محدود یکی از بهترین آنهاست. این روش درحل معادلات دیفرانسیل جزئی زیر مناسب است:

• روی دامنه‌های پیچیده (مانند وسایل نقلیه و لوله‌های انتقال نفت).
• هنگامی که دامنه متغیر است.
• وقتی که دقت بالا در همه جای دامنه الزامی نیست.
• اگر نتایج همبستگی و یکنواختی کافی را ندارند.

بسیار مفید می‌باشد.

به عنوان مثال در شبیه‌سازی یک تصادف در قسمت جلوی خودرو، نیازی به دقت بالای نتایج در عقب خودرو نیست. همچنین در شبیه‌سازی و پیش بینی هوا روی کره زمین، هوای روی خشکی اهمیت بیشتری نسبت به هوای روی دریا دارد. تقسیم ناحیه به نواحی کوچکتر دارای مزایای زیادی است از جمله:

• نمایش دقیق هندسه پیچیده
• گنجایش ویژگی‌های متفاوت جسم
• درک ویژگی‌های موضعی جسم.

تاریخچه روش اجزا محدود (Finite Element Method)

روش اجزا محدود به صورت شناخته شده امروزی، ابتدا طی مقاله ای در سال 1956 توسط سه نفر از پژوهشگران به نام‌های کلوق، تاپ ترنر و مارتین ارائه شد. این مقاله، کاربرد روش اجزا محدود را در خرپاها و ورق مثلثی با بار خوابیده نشان می‌دهد و به عنوان یکی از پیشرفت‌های کلیدی در توسعه روش اجزای محدود در نظر گرفته می‌شود. در حقیقت، روش اجزای محدودی که این پژوهشگران ارائه نمودند همان روشی است که امروزه تحت عنوان روش ماتریسی برای حل سازه‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد. روش اجزا محدود فوق‌الذکر همراه با توسعه روزافزون رایانه‌های دیجیتالی با سرعت‌های بالا، موجب گسترش کاربرد روش اجزای محدود گردید و راه را برای حل مسائل پیچیده‌تر از جمله مسائل تحلیل ارتجاعی ورق هموار ساخت. پس از انتشار نتایج این مقاله، مهندسین به سرعت به قابلیت‌های روش اجزای محدود پی بردند. سیر تحولات روش اجزای محدود در سال های اولیه ظهور آن را می‌توان در مقاله‌ای که توسط کلوق در سال 1980 انتشار یافت مورد مطالعه قرار داد. پس از آن‌که زینکویچ و چیونگ در سال 1965 اعلام نمودند که روش اجزای محدود را در بسیاری از مسائل میدانی نظیر انتقال حرارت، سیالات و غیره می‌توان به‌کار گرفت، فصل نوینی در کاربرد این روش گشوده شد. در اواخر دهه 60 و اوایل دهه هفتاد میلادی و در حالی که ریاضیدانان سرگرم ارائه نظریات خویش در باب موضوعاتی از قبیل خطا، حدود همگرائی در روش اجزای محدود بودند، مهندسان و دیگر کاربران این روش نیز در حال مطالعه موضوعات مشابهی در زمینه مکانیک جامدات بودند. از سال 1960 به بعد روش اجزای محدود مقبولیت بسیار گسترده ای در زمینه مهندسی کسب نمود و سیر مقالات و کتب مرجع در این حوزه روز به روز در حال افزایش است.

مراحل کار در روش اجزای محدود

روش اجزای محدود (المان محدود) شامل 5 بخش کلی می­باشد که عبارتند از:

1. پیش پردازش: تقسیم دامنه مسئله به اجزای محدود (گسسته سازی): در این مرحله  یک ماده پیچیده که بیانگر محیط پیوسته است به شکل های هندسی ساده ­تر که اجزای محدود نامیده می شود، تقسیم می گردد.

1. رابطه سازی جزء: در این مرحله یک تابع فرض می کنیم که شرایط مرزی را ارضا کند و در این میدان صدق کند.

1. سوار کردن (Assembly): در این مرحله پس از به دست آوردن معادلات حاکم برای دامنه مسئله از کنار هم قرار دادن معادله های حاکم بر هر جزء، مجموعه معادلات حاکم بر کل دامنه مسئله تعیین می­ گردد.

1. حل معادلات: در این مرحله از انواع روش های عددی موجود همانند روش تفاضل محدود، روش واریاسیون و روش های باقیمانده وزنی که خود انواع متفاوتی دارند استفاده می­نماییم.

1. پس ­پردازش: در این مرحله پس از به دست آمدن مجهولات اولیه، پارامترهای ثانویه­ای که مدنظر می­ باشد (همانند تنش، فشار، سرعت و …) را تعیین می­ نماییم. البته  در حالت­های ساده ای مانند سیستم های شامل فنر و یا خرپاها، می توان رفتار جزء را به طور مستقیم تعریف کرد و نیازی به در نظر گرفتن معادله دیفرانسیل حاکم نیست.

همگرایی و دقت روش اجزای محدود

روش اجزای محدود با توجه به اینکه روشی عددی می­باشد دارای همگرایی و دقت همگرایی می­باشد. دقت روش Finite Element Method به پارامترهای مختلفی بستگی دارد که از جمله آنها می توان به موارد زیر اشاره کرد:

• اصلی ترین عامل در دقت نتایج به اندازه شبکه بندی بستگی دارد.
• عامل دیگر نوع المان انتخابی برای حل می­باشد.
• همچنین نوع روش حل و انتخاب روش­های اویلرین یا لاگرانژین در دقت حل و همگرایی حل بسیار مهم می­باشند.
• از عوامل بسیار مهم دیگر برای دقت پاسخ ها این است که در انتخاب نوع المان ها فیزیک مسئله برای ما مهم است یا هندسه­ی مسئله؟ اگر هندسه مسئله مهم­تر است بایستی از المان های سوپرپارامتریک استفاده نمود و اگر فیزیک مسئله مهم تر است از المان های ساب پارامتریک و در صورتی که اهمیت هر دو یکسان است از المان های ایزو پارامتریک باید استفاده نمود.
• همچنین در مورد همگرایی حل اجزای محدود باید گفت که چنانچه با ریز کردن شبکه بندی، پاسخ ها به مقدار خاصی همگرا شوند، گفته می شود که حل دارای همگرایی است. انتخاب پاسخ های آزمونی و همچنین تابع های وزنی در همگرایی حل اجزا محدود موثر است. تابع های وزنی و همچنین پاسخ آزمونی باید به اندازه کافی نرم باشند. این نرمی به درجه مشتق های ظاهر شده در شکل ضعیف معادله حاکم بستگی دارد.

در زمینه ابنیه و ساختمان بیشتر مطالعه کنید : 

• ساخت و ساز ابنیه و ساختمان (Building & Structure)
• قرارداد مشارکت در ساخت (Construction participation contract)
• نظارت بر اجرای پروژه های عمرانی (Construction Supervision)
• مشاوره ساختمانی (Construction consulting)
• مدیریت پیمان (Management Contracting)
• مدیریت طرح (Construction Management)
• انواع سیستم های سازه ای (Structural System)
• مدیریت پروژه های عمرانی (Project Management)
• آیین نامه ی ۲۸۰۰ ، طراحی ساختمان ها در برابر زلزله
• سازه فولادی یا اسکلت فلزی (Steel Structure)
• سازه بتنی یا اسکلت بتنی (Concrete Structures)
• روش اجزای مجزا (Discrete Element Method)
• روش اجزای مرزی (Boundary Element Method)

در زمینه پایدارسازی گود بیشتر مطالعه کنید : 

• ساخت از بالا به پایین یا تاپ دان چیست؟ (Top-Down Construction)
• نیلینگ یا میخ کوبی دیواره چیست؟ (Soil Nailing)
• انکراژ یا مهارگذاری خاک چیست؟ (Soil Anchorage)
• مهارمتقابل یا استرات چیست؟ (Braced Excavations – Struts)
• سازه نگهبان خرپایی چیست؟ (Truss Retaining Structure)

در زمینه بهسازی خاک بیشتر مطالعه کنید : 

• تزریق پر فشار یا جت گروتینگ چیست؟ (Jet Grouting)
• اختلاط عمیق خاک یا DSM چیست؟ (Deep Soil Mixing)

در زمینه مطالعات ژئوتکنیک بیشتر مطالعه کنید :

• مطالعات خاک یا مطالعات ژئوتکنیک چیست؟ (Site Investigation)
• مطالعات لرزه خیزی چیست؟ (Seismicity studies)

در زمینه طراحی و مشاوره بیشتر مطالعه کنید : 

• معرفی نرم‌ افزار ETABS
• معرفی نرم افزار SAFE
• معرفی نرم افزار SAP2000
• معرفی نرم افزار AutoCAD
• معرفی نرم افزار Plaxis
• معرفی نرم افزار ABAQUS

در زمینه تخریب و خاکبرداری بیشتر مطالعه کنید : 

• مهندسی تخریب ساختمان (Destruction Engineering)
• خاکبرداری چیست؟ (Excavation)

مطالب مرتبط :

• مقررات ملی ساختمان
• استاندارد 2800
• jousefmurad , The Finite Element Method
• sciencedirect , Finite Element Method