ایستاسازه
En Ar

خانه - خدمات ایستاسازه - بهسازی خاک - تئوری موهر کلمب (Mohr–Coulomb Theory)

تئوری مور کلمب (تئوری موهر کلمب) یک مدل ریاضی برای توصیف عکس العمل مواد شکننده ای مانند بتن در برابر تنش های محوری و برشی است. در اکثر مواد کلاسیک مهندسی، بخشی از پوش شکست برشی به نحوی از این نظریه پیروی می‌کند. به طور کلی، تئوری مور-کولمب برای موادی به کار می‌رود که مقاومت فشاری آن‌ها بسیار بیشتر از مقاومت کششی باشد.

مقاومت برشی یک توده خاک، مقاومت داخلی بر واحد سطح توده خاک است که در مقابل گسیختگی یا لغزش در امتداد هر صفحه ای در داخل آن از خود نشان می دهد. به منظور تحلیل مسائل مربوط به پایداری خاک از قبیل پایداری شیب ها، فشار جانبی بر سازه های حائل خاکی، پایداری گودها با روش های مختلفی نظیر میخ کوبی (نیلینگ)، مهارگذاری (انکراژ)، مهار متقابل (استرات)، سازه نگهبان خرپایی، ساخت بالا به پایین (تاپ دان)، سپر کوبی، دیوار برلنی و دیوار دیافراگمی، بهسازی خاک ها با روش های مختلفی مانند اختلاط عمیق خاک (DSM)، تزریق پر فشار (جت گروتینگ)، ریزشمع (میکروپایل)، شمع، ستون شنی ارتعاشی، تراکم دینامیکی، خاک مسلح (ژئوسنتتیک) و … باید مفهوم مقاومت برشی را فهمید.

نمودار پوش گسیختگی مور کولمب - شرکت عمرانی مهندسی ایستا سازه
نمودار پوش گسیختگی مور کولمب (تئوری موهر کلمب)

تاریخچه توسعه تئوری مور-کولمب

تئوری مور – کولمب توسط شارل آگوستن دو کولُن (Charles-Augustin de Coulomb) و کریستین اتو مور  (Christian Otto Mohr)  توسعه داده شده است.

کولن (کولمب) در سال 1773 مقاله ای را در زمینه بررسی کاربرد قوانین حداکثری و حداقلی برای حل برخی از مسائل استاتیک در حوزه معماری تألیف کرد. مور نیز در اواخر قرن نوزدهم میلادی، شکل تعمیم یافته ای از تئوری کولمب را ارائه کرد.

 این شکل تعمیم یافته، تنها نحوه تفسیر معیار ارائه شده را تحت تأثیر قرار داد و در ذات آن تغییری ایجاد نکرد. از این‌رو، در برخی از منابع، این شکل هنوز هم با عنوان معیار کولمب (Coulomb Criterion) شناخته می‌شود.

در مهندسی ژئوتکنیک، از تئوری مور-کولمب برای مشخص کردن مقاومت برشی خاک و سنگ در سطوح مختلف تنش مؤثر و در مهندسی سازه، از این تئوری برای تعیین بار و زاویه شکست در بتن و مواد مشابه استفاده می شود. علاوه بر این، فرضیه اصطکاک کولمب نیز جهت به دست آوردن ترکیب تنش عمودی و برشی به وجود آورنده شکست کاربرد دارد (دایره مور (Mohr’s Circle))، تنش‌های اصلی ایجاد کننده این ترکیب و زاویه صفحه اعمال آن‌ها را تعیین می کند.

اگر شکست یک ماده بر اساس فرضیه اصطکاک کولمب رخ دهد، زاویه خط جابجایی موجود در محل شکست با زاویه اصطکاک برابر خواهد بود. با توجه به این ویژگی می‌توان با مقایسه کار مکانیکی خارجی حاصل از جابجایی و بارگذاری خارجی و همچنین کار مکانیکی داخلی حاصل از تنش و کرنش در خط شکست، مقاومت ماده را محاسبه کرد. بر اساس اصل پایستگی انرژی، مجموع این مقادیر باید صفر باشد. این موضوع، امکان محاسبه بارگذاری شکست سازه را فراهم می کند. یکی از پیشرفت‌های مدل مور-کولمب، توصیف شکستگی جدا شده توسط ترکیب قانون اصطکاک کولمب با قاعده رانکین (Rankine’s Principal) است.

مقاومت برشی و سطح گسیختگی -شرکت عمرانی ایستا سازه
مقاومت برشی و سطح گسیختگی

دایره مور

«دایره مور» (Mohr’s Circle)، یک روش گرافیکی و دو بعدی برای انجام تبدیلات «تانسور تنش کوشی» (Cauchy Stress Tensor) یا همان تانسور تنش واقعی است که در سال 1882 توسط «کریستین اتو مور» (Christian Otto Mohr) توسعه یافت.

اگر جسمی را به صورت پیوسته در نظر بگیریم و بر روی آن تحلیل تنش انجام دهیم، امکان تعیین مؤلفه های تانسور تنش کوشی نقاط درون آن، با توجه به دستگاه مختصات مرجع فراهم می شود. پس از این کار می توان از دایره مور برای به دست آوردن مؤلفه های تنش اعمال شده در یک دستگاه مختصات دوران یافته استفاده کرد.

دوایر مور برای یک حالت تنش سه بعدی - شرکت مهندسی ایستاسازه
دوایر مور برای یک حالت تنش سه بعدی

معیار شکست مور-کولمب (Mohr–Coulomb Failure Criterion)

موهر (1900) تئوری خود را در مورد گسیختگی ارائه داد که طبق آن یک ماده تحت ماکزیمم تنش نرمال یا ماکزیمم تنش برشی گسیخته نمی شود بلکه تحت ترکیبی بحرانی از تنش نرمال و تنش برشی گسیخته خواهد شد. بنابراین رابطه پارامتری بین تنش نرمال و تنش برشی بر روی صفحه گسیختگی را به صورت زیر می توان نوشت:

پوش گسیختگی تعریف شده توسط رابطه فوق منحنی شکل است. برای بیشتر مسائل مکانیک خاک می توان تنش برشی بر روی صفحه گسیختگی را به صورت تابعی خطی از تنش نرمال تقریب زد (کلمب، 1776). این تابع خطی را می توان به صورت زیر نوشت:

که در رابطه فوق c تقاطع پوش شکست با محور مقاومت برشی، tan(ϕ) شیب پوش شکست، σ تنش نرمال بر روی صفحه گسیختگی و τf تنش برشی است. رابطه فوق را معیار گسیختگی موهر کلمب گویند.

کمیت c  معمولاً با عنوان چسبندگی (Cohesion) و  ϕ با عنوان زاویه اصطکاک داخلی (Internal Friction Angle) شناخته می‌شود. معمولاً علامت تنش در هنگام اعمال فشار، مثبت (+) در نظر گرفته می شود. در صورت فرض منفی بودن علامت فشار، باید σ – را جایگزینσ  کرد.

در یک خاک اشباع، تنش نرمال کل در یک نقطه از مجموع تنش موثر و فشار آب حفره ای (منفذی) به دست می آید:

تنش موثر σ′، توسط ذرات جامد تحمل می شود. معیار گسیختگی موهر کلمب بر حسب تنش موثر را می توان به صورت زیر نوشت:

که c′ چسبندگی و ϕ′زاویه اصطکاک داخلی خاک براساس تنش موثر هستند.

برای ماسه و سیلت غیرآلی مقدار c′=0 است. برای رس های عادی تحکیم یافته مقدار c′ تقریبا برابر صفر است. مقدار c′ برای رس های پیش تحکیم یافته بزرگتر از صفر است. زاویه اصطکاک ϕ′ نیز گاهی اوقات زاویه اصطکاک زهکشی شده نامیده می شود.

برای درک بهتر مفهوم معادله بالا، جزئی (المانی) از توده خاک را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید. فرض کنید تنش موثر نرمال و تنش برشی بر روی صفحه ab به ترتیب برابر با σ′ و τ باشد. شکل b، پوش گسیختگی مربوط به معادله بالا را نشان می دهد. اگر مقدار σ′ و τ بر روی صفحه ab بیانگر نقطه A باشد، گسیختگی اتفاق نمی افتد. اگر تنش نرمال موثر و تنش برشی بر روی صفحه ab در نقطه B (در روی پوش گسیختگی) واقع شود، گسیختگی در امتداد صفحه اتفاق خواهد افتاد. امکان وقوع موقعیت نقطه C نیز وجود ندارد، زیرا در بالای پوش گسیختگی واقع شده و عملا قبل از وقوع آن گسیختگی اتفاق افتاده است.

نمودار نظریه موهر کلمب و مشخص کردن متغیرهای این نظریه - شرکت عمرانی مهندسی ایستاسازه
نمودار نظریه موهر کلمب (تئوری موهر کلمب) و مشخص کردن متغیرهای این نظریه
نمایی از سطح شکست مور-کولمب (تئوری موهر کلمب) در دستگاه سه بعدی تنش‌های اصلی با مقادیر c=2MPa و ϕ=20
نمایی از سطح شکست مور-کولمب (تئوری موهر کلمب) در دستگاه سه بعدی تنش‌های اصلی با مقادیر c=2MPa و ϕ=20

اگر ϕ=0 باشد، معیار مور-کولمب به «معیار ترسکا» (Tresca Criterion) تبدیل می شود. در طرف مقابل، اگر ϕ=90 باشد، مدل مور-کولمب با «مدل رانکین» (Rankine Model) برابر خواهد بود. علاوه بر این، زاویه اصطکاک داخلی نمی‌تواند مقداری بیشتر از 90 درجه داشته باشد.

بر اساس روابط موجود در دایره مور داریم:

σ= σm − τm sin ϕ

τ= τm cos ϕ

که در آن:

فرمول 1- تئوری موهر کلمب

فرمول 2- تئوری موهر کلمب

σ1: تنش اصلی ماکسیمم

σ2: تنش اصلی مینیمم

بر اساس معادلات بالا می‌توان معیار مور-کولمب را به صورت زیر نیز نوشت:

τmm sinϕ+c cosϕ

این شکل از معیار مور-کولمب برای حالتی مناسب است که سطح شکست با جهت σ2 موازی باشد.

معیار شکست مور-کولمب در سه بعد

معیار مور-کولمب در مختصات سه بعدی اغلب به صورت زیر تعریف می شود:

 sin(ϕ)+ccos(ϕ)

سطح شکست مور-کولمب مخروطی با مقطع شش وجهی در دستگاه مختصات تنش انحرافی است.

با بسط دادن تنش‌های نرمال و تنش برشی به دست آمده در یک صفحه با جهت‌گیری دلخواه نسبت به محورهای مختصات (بردارهای پایه)، می‌توان عبارات  τ و σ  را در سه بعد تعمیم داد. فرض کنید که بردار یکه نرمال برای صفحه مورد نظر به صورت زیر باشد:

در معادله بالا، ei بردار یکه پایه در جهت i=1,2,3  (سه بردار عمود بر هم) را نشان می‌دهد. اگر تنش‌های اصلی σ2، σ1 و σ3  با بردارهای e2، e1 و e3 هم‌راستا باشند، عبارات τ  و σ  به صورت زیر به دست خواهند آمد:


با تعیین مقادیر معادلات بالا، معیار مور-کولمب توسط رابطه اصلی زیر برای شش صفحه معرف تنش برشی ماکسیمم به دست می‌آید:

τ=σ tan(ϕ)+c

سطح تسلیم مور-کولمب در صفحه π با مقادیر c=2MPa و  ϕ=20
سطح تسلیم مور-کولمب در صفحه π با مقادیر c=2MPa و  ϕ=20
اثر سطح تسلیم مور-کولمب -شرکت عمرانی ایساسازه
اثر سطح تسلیم مور-کولمب در صفحه σ1– σ2  با مقادیر c=2MPa و ϕ=20

سطح شکست مور-کولمب، اغلب در دستگاه مختصات های- وسترگارد (Haigh–Westergaard) بیان می‌شود (یک نوع دستگاه مختصات استوانه‌ای). به عنوان مثال، تابع زیر را در نظر بگیرید:

این تابع را می‌توان به صورت زیر نیز نوشت:

با در نظر گرفتن کمیت‌های تغییرناپذیر q، p  و r، معادله بالا به شکل زیر تبدیل خواهد شد:

که در آن:

رابطه بین سطح تسلیم مور-کولمب و پلاستیسیته

سطح تسلیم مور-کولمب (تئوری موهر کلمب) اغلب برای مدل‌سازی جریان پلاستیک مواد در حوزه زمین‌شناسی، مواد چسبنده و مواد اصطکاکی مورد استفاده قرار می گیرد. بسیاری از این مواد، هنگام قرارگیری در معرض تنش‌های سه محوری، یک رفتار اتساعی از خود به نمایش می‌گذارند. این نوع رفتار در مدل مور-کولمب در نظر گرفته نمی‌شود. علاوه بر این، به دلیل وجود گوشه در سطح تسلیم، استفاده از مدل اصلی مور-کولمب برای تعیین جهت‌گیری جریان پلاستیک (در تئوری جریان پلاستیک) مناسب نیست.

یکی از رویکردهای متداول برای حل این مشکل، استفاده از پتانسیل جریان پلاستیک غیر همراه و آرام است.

در زمینه ابنیه و ساختمان بیشتر مطالعه کنید : 

در زمینه بهسازی خاک بیشتر مطالعه کنید : 

در زمینه طراحی و مشاوره ژئوتکنیک بیشتر مطالعه کنید : 

در زمینه پایدارسازی گود بیشتر مطالعه کنید : 

در زمینه مطالعات ژئوتکنیک بیشتر مطالعه کنید :

در زمینه تخریب و خاکبرداری بیشتر مطالعه کنید : 

مطالب مرتبط :

سایر مقاله ها

آزمایش تحلیل چند کاناله امواج سطحی یا MASW چیست ؟ (Multichannel Analysis of Surface Waves)

آزمایش تحلیل چند کاناله امواج سطحی یا MASW یکی از [...]


بیشتر بخوانید

خاک های رمبنده (Collapsible Soil)

در طبیعت خاک هایی هستند كه تحت تنش یكسان، با [...]


بیشتر بخوانید

ظرفیت باربری پی (Bearing Capacity of Foundation)

خاک باید بدون آنکه دچار گسیختگی برشی شود، توانایی تحمل [...]


بیشتر بخوانید

نشست غیر یکنواخت (Differential Settlement)

پی (شالوده یا فونداسیون) یک سازه وزن زیادی دارد و [...]


بیشتر بخوانید